Question

如圖（1）所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC，又tan∠ACO=．
①求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式．
②經(jīng)過(guò)C．D兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)E，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
③如圖（2）所示，若G（2，t）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．
（3）易求得AC的長(zhǎng)，由于AC長(zhǎng)為定值，當(dāng)P到直線AG的距離最大時(shí)，△APG的面積最大．可過(guò)P作y軸的平行線，交AG于Q；設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線AG的解析式可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，也就求出PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出關(guān)于△APG的面積與P點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出△APG的最大面積及P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)此時(shí)△APG的面積和AG的長(zhǎng)，即可求出P到直線AC的最大距離．
解答：解：（1）方法一：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC，又tan∠ACO=．
∴tan∠ACO==，
∴AO=1，
∴C（0，-3），A（-1，0），
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，
解得：，
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
設(shè)該表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3），
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=1，
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3；
（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）如圖，在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴頂點(diǎn)D（1，-4）．
容易求得直線CD的表達(dá)式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，此時(shí)F（2，-3）．

（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1；
設(shè)P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2；
，
當(dāng)時(shí)，△APG的面積最大為；
∵，P到AG的最大距離為，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定、圖形面積的求法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．