Question

已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使得△ABM的面積與△ABD的面積相等的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是
A（3，0），B（0，3），
拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，
c=3
-9+3b+c=0，
得到b=2，c=3，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+2x+3．

（2）①作經(jīng)過(guò)點(diǎn)D與直線y=-x+3平行的直線交拋物線于點(diǎn)M．

則S_△ABM=S_△ABD，
直線DM的解析式為y=-x+t．
由拋物線解析式y(tǒng)=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
得D（1，4），
∴t=5．
設(shè)M（m，-m+5），
則有-m+5=-m²+2m+3，
解得m=1（舍去），m=2．
∴M（2，3）．
②易求直線DM關(guān)于直線y=-x+3對(duì)稱的直線l的解析式為y=-x+1，l交拋物線于M．
設(shè)M（m，-m+1）．
由于點(diǎn)M在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-m+1=-m²+2m+3．
解得m=

3+ 17

2

，m=

3- 17

2

∴M（

3+ 17

2

，-

1+ 17

2

）或M（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）
∴使△ABM的面積與△ABD的面積相等的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別是
（2，3），（

3+ 17

2

，-

1+ 17

2

），（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）．