Question

【題目】操作與探索：

已知點O為直線AB上一點，作射線OC，將直角三角板ODE放置在直線上方(如圖①)，使直角頂點與點O重合，一條直角邊OD重疊在射線OA上，將三角板繞點O旋轉

（1）當三角板旋轉到如圖②的位置時，若OD平分∠AOC，試說明OE也平分∠BOC.

（2）若OC⊥AB，垂足為點O(如圖③)，請直接寫出與∠DOB互補的角

（3）若∠AOC=135°(如圖④)，三角板繞點O按順時針從如圖①的位置開始旋轉，到OE邊與射線OB重合結束. 請通過操作，探索：在旋轉過程中，∠DOB∠COE的差是否發生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請用含有n(n為三角板旋轉的度數)的代數式表示這個差.

Answer 1

【答案】（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可證得結論；（2）∠AOD、∠COE；

（3）①若n≤45°，∠DOB∠COE=135°，②若n＞45°，∠DOB∠COE=225°2n

【解析】

試題分析：（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可證得結論；

（2）由OC⊥AB可得∠AOD+∠COD=90°，由∠DOE=90°可得∠COD+∠COE=90°，即可得到∠AOD=∠COE，從而可以求得與∠DOB互補的角；

（3）由于旋轉45°時，OE與OC重合，故要分n≤45°與n＞45°兩種情況分析.

（1）∵OD平分∠AOC

∴∠AOD=∠COD

∵∠DOE=90°

∴∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°

∴∠COE=∠EOB

∴OE也平分∠BOC；

（2）∵OC⊥AB，∠DOE=90°

∴∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠COE=90°

∴∠AOD=∠COE

∴與∠DOB互補的角為∠AOD、∠COE；

（3）①若n≤45°，∠DOB∠COE=（180°-n）-（45°-n）=180°-n-45°+n=135°，

②若n＞45°，∠DOB∠COE=（180°-n）-（n-45°）=180°-n-n+45°=225°2n.