Question

【題目】某大學生利用業余時間參與了一家網店經營,銷售一種成本為30元/件的文化衫,根據以往的銷售經驗,他整理出這種文化衫的售價y1(元/件),銷量y2(件)與第x(1≤x<90)天的函數圖象如圖所示(銷售利潤=(售價-成本)×銷量).

(1)求y1與y2的函數解析式.

(2)求每天的銷售利潤W與x的函數解析式.

(3)銷售這種文化衫的第多少天,銷售利潤最大,最大利潤是多少?

Answer 1

【答案】（1）y2與x的函數關系式為y2=-2x+200(1≤x<90)；（2）W=

（3）銷售這種文化衫的第45天,銷售利潤最大,最大利潤是6050元.

【解析】試題分析：（1）待定系數法分別求解可得；
（2）根據：銷售利潤=（售價-成本）×銷量，分1≤x＜50、50≤x＜90兩種情況分別列函數關系式可得；
（3）當1≤x＜50時，將二次函數關系式配方后依據二次函數性質可得此時最值情況，當50≤x＜90時，依據一次函數性質可得最值情況，比較后可得答案．

試題解析：(1)當1≤x<50時,設y1=kx+b,

將(1,41),(50,90)代入,

得解得

∴y1=x+40,

當50≤x<90時,y1=90,

故y1與x的函數解析式為y1=

設y2與x的函數解析式為y2=mx+n(1≤x<90),

將(50,100),(90,20)代入,

得解得:

故y2與x的函數關系式為y2=-2x+200(1≤x<90).

(2)由(1)知,當1≤x<50時,

W=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000;

當50≤x<90時,

W=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000;

綜上,W=

(3)當1≤x<50時,∵W=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,

∴當x=45時,W取得最大值,最大值為6050元;

當50≤x<90時,W=-120x+12000,

∵-120<0,W隨x的增大而減小,

∴當x=50時,W取得最大值,最大值為6000元;

綜上,當x=45時,W取得最大值6050元.

答:銷售這種文化衫的第45天,銷售利潤最大,最大利潤是6050元.