Question

（2009•黃石）若拋物線y=ax²+bx+3與y=-x²+3x+2的兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a、b分別為    、    ．

Answer 1

【答案】分析：有交點(diǎn)，可讓兩個拋物線組成方程組．
解答：解：由題意可得，兩個函數(shù)有交點(diǎn)，則y相等，
則有ax²+bx+3=-x²+3x+2，得：（a+1）x²+（b-3）x+1=0．
∵兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么兩個橫坐標(biāo)的值互為相反數(shù)；兩個縱坐標(biāo)的值也互為相反數(shù)．
則兩根之和為：-=0，兩根之積為＜0，
解得b=3，a＜-1．
設(shè)兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
這兩個根都適合第二個函數(shù)解析式，那么y₁+y₂=-（x₁²+x₂²）+3 （x₁+x₂）+4=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+4=0，
解得x₁x₂=-2，
代入兩根之積得=-2，
解得a=-，
故a=-，b=3．
另法：（若交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么在y=-x²+3x+2中，必定自身存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，設(shè)這兩個點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為k和-k，直接在y=-x²+3x+2代入k，然后相加兩個式子-k²+3k+2=0與-k²-3k+2=0，可得出k為±，從而直接得到兩個點(diǎn)，再待定系數(shù)法，將兩點(diǎn)代入y=ax²+bx+3，直接可以得出a，b的值．
點(diǎn)評：本題用到的知識點(diǎn)為：兩個函數(shù)有交點(diǎn)，那么應(yīng)讓這兩個函數(shù)圖象組成方程組，而后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．