Question

如圖，已知P為定角O的角平分線上的定點(diǎn)，過O、P兩點(diǎn)任作一圓與角的兩邊分別交于A、B兩點(diǎn)．
求證：OA+OB是定值．

Answer 1

分析：先連接AP、BP，由于它們?yōu)橛邢嗤瑘A周角的弦，∴AP=PB，對△POA應(yīng)用余弦定理，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可證明．

解答：證明：連接AP、BP，由于它們?yōu)橛邢嗤瑘A周角的弦，
∴AP=PB，
不妨記為r．另記x₁=OA，x₂=OB．
對△POA應(yīng)用余弦定理，
得x₁²+OP²-2OP•cos∠AOP•x₁=r²．
故x₁為方程x²-2OP•cos

1

2

∠AOB•x+（OP²-r²）=0的根，
同理x₂亦為其根．
因此x₁，x₂為此方程的兩根，由韋達(dá)定理，
得x₁+x₂=2OPcos

1

2

∠AOB是定值．

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及圓周角定理，難度適中，關(guān)鍵是根據(jù)余弦定理構(gòu)造方程，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明．