Question

如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線，則下面四個結論：
（1）DE=1；
（2）AB邊上的高為；
（3）△CDE∽△CAB；
（4）△CDE的面積與△CAB面積之比為1：4．
其中正確的有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據圖形，利用三角形中位線定理，可得DE=1，（1）成立；AB邊上的高，可利用勾股定理求出等于，（2）成立；DE是△CAB的中位線，可得DE∥AB，利用平行線分線段成比例定理的推論，可得△CDE∽△CAB，（3）成立；由△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，那么它們的面積比等于相似比的平方，就等于1：4，（4）也成立．
解答：解：∵DE是它的中位線，∴DE=AB=1，故（1）正確，
∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，故（3）正確，
∴S_△CDE：S_△CAB=DE²：AB²=1：4，故（4）正確，
∵等邊三角形的高=邊長×sin60°=2×=，故（2）正確．
故選D．
點評：本題利用了：1、三角形中位線的性質；2、相似三角形的判定：一條直線與三角形一邊平行，則它所截得三角形與原三角形相似；3、相似三角形的面積等于對應邊的比的平方；4、等邊三角形的高=邊長×sin60°．