Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，點Q從C開始沿CD邊向D移動，速度是每秒1厘米，點P從A開始沿AB向B移動，速度是點Q速度的a倍，如果點P，Q分別從A，C同時出發，當其中一點到達終點時運動停止．設運動時間為t秒．已知當t=

3

2

時，四邊形APQD是平行四邊形．
（1）求a的值；
（2）線段PQ是否可能平分對角線BD？若能，求t的值，若不能，請說明理由；
（3）若在某一時刻點P恰好在DQ的垂直平分線上，求此時t的值．

Answer 1

分析：（1）利用平行四邊形的性質，直接的出a的值；
（2）運用三角形的全等，得出△DOQ≌△BOP，即可得出DQ=BP，從而得出答案；
（3）過點C、D作CN⊥AB，DM⊥AB，交AB于點M、N，得出Rt△DAM≌Rt△CBN，再利用垂直平分線的性質以及矩形性質得出DM=NP，從而求出t．

解答：解：（1）∵四邊形APQD是平行四邊形
∴6-

3

2

=

3

2

a，
即：a=3；

（2）若線段PQ平分對角線BD，即DO=BO，
在△DOQ和△BOP中，
∵

∠QDO=∠OBP DO=OB ∠DOQ=∠POB

，
∴△DOQ≌△BOP（ASA）
∴DQ=BP
即：6-t=12-3t，
解得：t=3；

（3）分別過點C、D作CN⊥AB，DM⊥AB，交AB于點M、N
可得：四邊形DMNC是矩形，
∴∠AMD=∠CNB=90°，AD=BC，DM=CN，
在Rt△DAM和Rt△CBN中
∵

AD=BC DM=CN

，
∴Rt△DAM≌Rt△CBN（HL），
∴AM=

12-6

2

=3
∵點P在DQ的垂直平分線EP上
∴PD=PQ，DE=

1

2

DQ，四邊形DEPM是矩形
∴DE=PM，
即：

6-t

2

=3t-3，
解得：t=

12

7

．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質，垂直平分線的性質和全等三角形的判定等知識，題目綜合性較強，考查知識比較全面，證明線段相等經常運用證明三角形全等解決．