Question

【題目】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG且EG⊥CG；

（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)成立,證明見解析;(3)（1）中的結論仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG.

【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．

（2）結論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．

（3）結論依然成立．還知道EG⊥CG;

試題解析：

解：（1）證明：在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點，

∴ ，

同理，在Rt△DEF中， ，

∴CG=EG；

（2）（1）中結論仍然成立，即EG=CG；

連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點，如圖所示：

在△DAG與△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，

∴△DAG≌△DCG，

∴AG=CG，

在△DMG與△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG，

∴MG=NG，

在矩形AENM中，AM=EN.，

在Rt△AMG與Rt△ENG中，

∵AM=EN，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG，

∴AG=EG，

∴EG=CG，

（3）（1）中的結論仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。

過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N，如圖所示：

由于G為FD中點，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，

又因為BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC

∵∠FEC+∠BEC=90°，

∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∵G為CM中點，

∴EG=CG，EG⊥CG。