Question

已知關于的方程：①和②，其中.
（1）求證：方程①總有兩個不相等的實數根；
（2）設二次函數的圖象與軸交于、兩點（點在點的左側），將、兩點按照相同的方式平移后，點落在點處，點落在點處，若點的橫坐標恰好是方程②的一個根，求的值；
（3）設二次函數，在（2）的條件下，函數，的圖象位于直線左側的部分與直線（）交于兩點，當向上平移直線時，交點位置隨之變化，若交點間的距離始終不變，則的值是________________.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）3；（3）.

解析試題分析：（1）證明方程根的判別式大于0即可.
（2）根據平移的性質，得到點平移后的坐標，由點的橫坐標恰好是方程②的一個根，代入求解即可.
（3）求出過兩拋物線的頂點的直線的即為所求.
試題解析：（1），
由知必有，故.
∴方程①總有兩個不相等的實數根.
（2）令，依題意可解得，.
∵平移后，點落在點處，
∴平移方式是將點向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到.
∴點按相同的方式平移后，點為.
則依題意有.
解得，（舍負）.
∴的值為3.
（3）在（2）的條件下，，
兩拋物線的頂點坐標分別為，則過這兩點的直線解析式為.
∴.

考點：1.一元二次方程根的判別式；2.二次函數的性質；3.待定系數法的應用；4.曲線上點的坐標與方程的關系；5.平移的性質.