Question

已知如圖，拋物線與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A．M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D，交拋物線于點N。

（1）請直接寫出答案：點A坐標         ，⊙P的半徑為          ；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若，求N點坐標；
（4）若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

（1）（0，2），；（2）；（3）（6，5）；（4）或

試題分析：（1）根據拋物線與坐標軸的交點坐標的特征結合切線的性質求解即可；
（2）根據拋物線過B（1，0）、C（4，0），設y=a(x-1)(x-4)，再把A（0，2）代入求即；
（3）設N點坐標為（x₀，y₀），由題意有，即可求得y₀的值，再根據函數圖象上的點的坐標的特征求解即可；
（4）根據題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況：①∠ABD和∠AOB對應，此時AD是⊙P的直徑；②∠BAD和∠AOB對應，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點，分別根據相似三角形的性質求解即可.
（1）A點坐標是（0，2），⊙P的半徑長為；
（2）拋物線過B（1，0）、C（4，0），設y=a(x-1)(x-4)
將A（0，2）代入得4a=2，解得a=
拋物線的解析式是：；
（3）設N點坐標為（x₀，y₀），由題意有
∴，解得y₀=5
∵N點在拋物線上  
∴
解得 x₀=6或 x₀=1（不合題意，舍去）
∴N點的坐標為（6，5）；
（4）根據題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況：
①∠ABD和∠AOB對應，此時AD是⊙P的直徑

則AB=，AD=5
∴ BD=2
∵Rt△AMB∽Rt△DAB
∴ MA：AD=AB：BD 即 MA=
∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即 MB·MD=MA²= 
②∠BAD和∠AOB對應，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點

∵B（1，0），P（，2）
∴直線MB的解析式是：
∴M點的坐標為（0， 
∴AM=
由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA
∴MB·MD=MA²=.
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.