Question

(本題滿分9分)如圖9,已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．
（1）當△APC與△PBD的面積之生取最小值時，AP=；（直接寫結果）
（2）連結AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小是否會隨點P的移動面變化？請說明理由；
（3）如圖10，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小是否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

Answer 1

解：（1）；（2）α的大小不會隨點P的移動而變化，
理由：∵△APC是等邊三角形，∴PA="PC," ∠APC=60⁰,
∵△BDP是等邊三角形，∴PB="PD," ∠BPD=60⁰, ∴∠APC=∠BPD,
∴∠APD=∠CPB, ∴△APD≌△CPB, ∴∠PAD=∠PCB,
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120⁰,∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120⁰, ∴∠AQC=180⁰-120⁰ =60⁰;
(3) 此時α的大小不會發生改變，始終等于60⁰.

解析