Question

【題目】【問題情境】

如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）證明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

【拓展延伸】

（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

成立；證明見解析；

（3）①結論AM=AD+MC仍然成立．

②結論AM=DE+BM不成立．

【解析】分析：（1）從平行線和中點這兩個條件出發，延長AE、BC交于點N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．

（2）作FA⊥AE交CB的延長線于點F，易證AM=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個三角形全等即可．

（3）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖2（2）中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立．

本題解析：（1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖1（1），

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．

∴△ADE≌△NCE（AAS）

∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．

證明：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖1（2）所示．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

∴△ABF≌△ADE（ASA）．∴BF=DE，∠F=∠AED．∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．

∴∠F=∠FAM．∴AM=FM．∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①結論AM=AD+MC仍然成立．

證明：延長AE、BC交于點P，如圖2（1），

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠EPC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．∴MA=MP．

∴△ADE≌△PCE（AAS）．∴AD=PC．∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．

②結論AM=DE+BM不成立．

證明：假設AM=DE+BM成立．過點A作AQ⊥AE，交CB的延長線于點Q，如圖2（2）所示．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．∵AQ⊥AE，

∴∠QAE=90°．∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．∴∠Q=90°﹣∠QAB=90°﹣∠DAE=∠AED．

∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE．∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB ∴∠Q=∠QAM．∴AM=QM．∴AM=QB+BM．∵AM=DE+BM，∴QB=DE．

∴△ABQ≌△ADE（AAS）∴AB=AD．與條件“AB≠AD“矛盾，故假設不成立．

∴AM=DE+BM不成立．