Question

【題目】已知拋物線y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常數(shù)．
（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）若該拋物線的對(duì)稱軸為直線x= ． ①求該拋物線的函數(shù)解析式；
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：y=（x﹣m）2﹣（x﹣m）=x2﹣（2m+1）x+m2+m，

∵△=（2m+1）2﹣4（m2+m）=1＞0，

∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)

（2）解：①∵x=﹣ = ，

∴m=2，

∴拋物線解析式為y=x2﹣5x+6；

②設(shè)拋物線沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則平移后拋物線解析式為y=x2﹣5x+6+k，

∵拋物線y=x2﹣5x+6+k與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴△=52﹣4（6+k）=0，

∴k= ，

即把該拋物線沿y軸向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】（1）先把拋物線解析式化為一般式，再計(jì)算△的值，得到△=1＞0，于是根據(jù)△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）①根據(jù)對(duì)稱軸方程得到=﹣ = ，然后解出m的值即可得到拋物線解析式；②根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，設(shè)拋物線沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則平移后拋物線解析式為y=x2﹣5x+6+k，再利用拋物線與x軸的只有一個(gè)交點(diǎn)得到△=52﹣4（6+k）=0， 然后解關(guān)于k的方程即可．