Question

【題目】己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點G．

（1）求證：BE=DF；

（2）若，求證：四邊形BEFG是平行四邊形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）證得△ABE與△AFD全等后即可證得結論；

（2））利用=得到，從而根據平行線分線段成比例定理證得FG∥BC，進而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后證得BE=GF，利用一組對邊平行且相等即可判定平行四邊形．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF．

∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，

∴△BAE≌△DAF，

∴BE=DF；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，

∴=．

又∵BE=DF，=，

∴==，

∴，又∠BDC=∠GDF，

∴△BDC∽△GDF，∴∠DBC=∠DGF，

∴GF∥BC，

∴∠DGF=∠DBC．

∵BC=CD，

∴∠BDC=∠DBC=∠DGF，

∴GF=DF=BE，

∵GF∥BC，GF=BE，

∴四邊形BEFG是平行四邊形．