Question

【題目】如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合．無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角．

小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3，沿△ABC的∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合．

（1）小麗經過三次折疊發現了∠BAC是△ABC的好角，請探究∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系．

（2）根據以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為 ；

（3）如果一個三角形的最小角是15°，且滿足該三角形的三個角均是此三角形的好角，則此三角形另兩個角的度數為 ．

Answer 1

【答案】（1）∠B=3∠C；（2）∠B=n∠C；（3）15°，150°．

【解析】試題分析：（1）仔細分析題意根據折疊的性質及“好角”的定義即可作出判斷；
（2）因為經過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的 由 又 由此即可求得結果；

（3）因為最小角是15°是△ABC的好角，根據好角定義，則可設另兩角分別為（其中都是正整數），由題意得所以 再根據都是正整數可得 與是的整數因子，從而可以求得結果

試題解析：(1)△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角；

理由如下：小麗展示的情形二中，

∵沿∠BAC的平分線折疊，

∴

又∵將余下部分沿的平分線折疊,此時點與點C重合，

∴

∵ (外角定理)，

∴∠B=2∠C；

故答案是：是；

(2)∠B=3∠C；

在△ABC中,沿∠BAC的平分線折疊,剪掉重復部分;將余下部分沿的平分線折疊,剪掉重復部分,將余下部分沿的平分線折疊,點與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角.

證明如下：∵根據折疊的性質知,

∴根據三角形的外角定理知,

∵根據四邊形的外角定理知,

根據三角形ABC的內角和定理知,

∴∠B=3∠C；

由小麗展示的情形一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；

由小麗展示的情形二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；

由小麗展示的情形三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；

故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角,則∠B與∠C(不妨設∠B>∠C)之間的等量關系為∠B=n∠C；

故答案為：∠B=3∠C；∠B=n∠C

(3)由(2)知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，

因為最小角是是△ABC的好角，

根據好角定義,則可設另兩角分別為 (其中m、n都是正整數).

由題意,得所以m(n+1)=11

因為m、n都是正整數，所以m與n+1是 的整數因子，

因此有：

所以m=1，n=10.

所以

所以該三角形的另外兩個角的度數分別為：15°，150°．