Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，以AB上一點(diǎn)O為圓心，AD為弦作⊙O，
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AC=3，tanB=

3

4

，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由角的等量關(guān)系證明OD∥AC，證明∠C=∠ODB=90°；
（2）在Rt△ABC中，解得AB，由三角形相似列出關(guān)系式解得半徑．

解答：解：（1）直線BC與⊙O相切．（1分）
理由：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，（2分）
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AC．（4分）
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°．即OD⊥BC．
∴BC為⊙O的切線（6分）

（2）在Rt△ABC中，tanB=

3

4

，
∴

AC

BC

=

3

4

．
∵AC=3，
∴BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5．（8分）
又∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC．
∴

OD

AC

=

BO

AB

∵OD=AO=r，
∴BO=5-r，
∴

r

3

=

5-r

5

（11分）
解得r=

15

8

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．