Question

【題目】已知拋物線y＝2x2＋bx＋c經過點A(2，－1) ．

（1）若拋物線的對稱軸為x＝1，求b，c的值；

（2）求證：拋物線與x軸有兩個不同的交點；

（3）設拋物線頂點為P，若O、A、P三點共線（O為坐標原點），求b的值．

Answer 1

【答案】（1）b＝－4 ,c＝－1；（2）證明見解析;（3）b＝－8或b＝－9．

【解析】分析：（1）根據對稱軸為x＝1，可得 ，可求出b的值，再把A(2，－1)代入到y＝2x2＋bx＋c求出c的值；

（2）求出b2－4ac的值，然后可判斷出二次函數圖像與x軸的交點個數；

（3）先求出直線OA的解析式，把把A(2，－1)代入到y＝2x2＋bx＋c求出b，c之間的關系，根據頂點坐標表示出點P的坐標，代入直線OA的解析式，求出b的值.

詳解：（1）∵拋物線的對稱軸為x＝1，

∴－＝－＝1，∴b＝－4

將點A(2，－1)代入y＝2x2－4x＋c中，解得c＝－1；

（2）∵b2－4ac＝b2－8c，將(2，－1)代入y＝2x2＋bx＋c，得c＝－2b－9，

即b2－4ac＝b2－8(－2b－9)＝(b＋8)2＋8＞0，

∴方程2x2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根，

∴拋物線與x軸有兩個不同的交點

（3）拋物線頂點坐標為(－，)，

直線OA關系式為y＝－x，將頂點坐標代入直線OA，

得方程b2＋17b＋72＝0

求得b＝－8或b＝－9．