Question

如圖，以BC為直徑的⊙O₁與⊙O₂外切，⊙O₁與⊙O₂的外公切線交于點D，且∠ADC=60°，過B點的⊙O₁的切線交其中一條外公切線于點A．若⊙O₂的面積為π，則四邊形ABCD的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：設⊙O₁的半徑是R，求出⊙O₂的半徑是1，連接DO₂，DO₁，O₂E，O₁H，AO₁，作O₂F⊥BC于F，推出D、O₂、O₁三點共線，∠CDO₁=30°，求出四邊形CFO₂E是矩形，推出O₂E=CF，CE=FO₂，∠FO₂O₁=∠CDO₁=30°，推出R+1=2（R-1），求出R=3，求出DO₁，在Rt△CDO₁中，由勾股定理求出CD，求出AH==AB，根據梯形面積公式得出×（AB+CD）×BC，代入求出即可．
解答：解：∵⊙O₂的面積為π，設⊙O₂的半徑是r，
則π×r²=π
∴⊙O₂的半徑是1，
∵AB和AH是⊙O₁的切線，
∴AB=AH，
設⊙O₁的半徑是R，
連接DO₂，DO₁，O₂E，O₁H，AO₁，作O₂F⊥BC于F，
∵⊙O₁與⊙O₂外切，⊙O₁與⊙O₂的外公切線DC、DA，∠ADC=60°，
∴D、O₂、O₁三點共線，∠CDO₁=30°，
∴∠DAO₁=60°，∠O₂EC=∠ECF=∠CFO₂=90°，
∴四邊形CFO₂E是矩形，
∴O₂E=CF，CE=FO₂，∠FO₂O₁=∠CDO₁=30°，
∴DO₂=2O₂E=2，∠HAO₁=60°，
∵O₁O₂=2O₁F（在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半），
又∵O₁F=R-1，O₁O₂=R+1，
∴R+1=2（R-1），
解得：R=3，
即DO₁=2+1+3=6，
在Rt△CDO₁中，由勾股定理得：CD=3，
∵∠HO₁A=90°-60°=30°，HO₁=3，
∴AH==AB，
∴四邊形ABCD的面積是：×（AB+CD）×BC=×（+3）×（3+3）=12．
故答案為：12．
點評：本題考查的知識點是勾股定理、相切兩圓的性質、含30度角的直角三角形、矩形的性質和判定，本題主要考查了學生能否運用性質進行推理和計算，題目綜合性比較強，有一定的難度．