Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，在中，，求的面積．

問題探究

（2）如圖②，半圓的直徑，是半圓的中點，點在上，且，點是上的動點，試求的最小值．

問題解決

（3）如圖③，扇形的半徑為在選點，在邊上選點，在邊上選點，求的長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，過點作，交延長線于點，通過構造直角三角形，求出BD利用三角形面積公式求解即可.

（2）如圖示，作點關于的對稱點，交于點，連接，交于點，連接、、，過點作，交延長線于點，確定點P的位置，利用勾股定理與矩形的性質求出CQ的長度即為答案.

（3）解圖3所示，在上這一點作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，交于點，交于點，連接，通過軸對稱性質的轉化，最終確定最小值轉化為SN的長.

（1）如解圖1所示，過點作，交延長線于點，

，

，

，交延長線于點，

為等腰直角三角形，且，

，

在中，，

，即，

，

，解得：，

，

．

（2）如解圖2所示，作點關于的對稱點，交于點，連接，交于點，連接、、，過點作，交延長線于點，

關于的對稱點，交于點，

，

，

點為上的動點，

，

當點處于解圖2中的位置，取最小值，且最小值為的長度，

點為半圓的中點，

，

，

，

，

，

在中，由作圖知，，且，

，

，

由作圖知，四邊形為矩形，

，

，

，

的最小值為．

（3）如解圖3所示，在上這一點作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，交于點，交于點，連接，

點關于的對稱點，點關于的對稱點，連接，交于點，交于點，

，，，

，

．，

，

為上的點，為上的點

，

當點處于解圖3的位置時，的長度取最小值，最小值為的長度，

，

，

．

扇形的半徑為，

，

在中，，

的長度的最小值為．