Question

已知，如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線解析式為y=-

3

3

x+1．
（1）在x軸上存在這樣的點M，使AMB為等腰三角形，求出所有符合要求的點M的坐標；
（2）動點P從點C開始在線段CO上以每秒

3

個單位長度的速度向點O移動，同時，動點Q從點O開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點A移動．設P、Q移動的時間為t秒．
①是否存在這樣的時刻2，使△OPQ與△BCP相似，并說明理由；
②設△BPQ的面積為S，求S與t間的函數關系式，并求出t為何值時，S有最小值．

Answer 1

（1）易知A（0，1），C（

3

，0），B（

3

，1）．
①AB為腰且MA=AB時，
由題意可知，AM₂=AB=

3

，
∴OM₂=

2

．
∴M₂（

2

，0），由對稱性知M₄（-

2

，0），
②AB為腰且MB=AB時，
由題意得OM₄=OC-CM₄=

3

-

2

，
∴M₁（

3

-

2

，0），
由對稱性可知M₃（

3

+

2

，0），
③AB為底邊，則M₅（

1

2

3

，0）；

（2）①假設存在這樣的時刻t，使△OPQ與△BCP相似．
∵CP=

3

t，OQ=t，OP=

3

-

3

t，
由

OQ

BC

=

OP

CP

或

OQ

CP

=

OP

BC

得：

t

1

=

3 - 3 t

3 t

或

t

3 t

=

3 - 3 t

t

，
即t²+t-1=0或3t=2，
解得t=

-1± 5

2

或t=

2

3

．
又∵0≤t≤1，
∴當t=

-1+ 5

2

或t=

2

3

時，△OPQ與△BCP相似．（7分）
②S=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP
=

3

-

3

2

（1-t）-

1

2

t（

3

-

3

t）-

1

2

•

3

t
=

3

2

(t2-t+1)
=

3

2

（t-

1

2

）²+

3 3

8

當t=

1

2

時，面積S有最小值，最小值是

3 3

8

．（10分）