Question

如圖，已知BF、BE分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線，AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F為垂足，EF分別交AB、AC于M、N兩點．
求證：（1）四邊形AEBF是矩形；（2）MN=

1

2

BC．

Answer 1

證明：（1）∵BF、BE分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F為垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四邊形AEBF為矩形；

（2）∵四邊形AEBF為矩形，
∴BM=MA=MF，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴MF∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M是AB的中點，
∴

AM

AB

=

MN

BC

=

1

2

（或MN為△ABC的中位線）
∴MN=

1

2

BC．