Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+3x交x軸正半軸于點A（6，0），頂點為M，對稱軸MB交x軸于點B，過點C（2，0）作射線CD交MB于點D（D在x軸上方），OE∥CD交MB于點E，EF∥x軸交CD于點F，作直線MF．

（1）求a的值及M的坐標；
（2）當BD為何值時，點F恰好落在該拋物線上？
（3）當∠DCB=45°時：
①求直線MF的解析式；
②延長OE交FM于點G，四邊形DEGF和四邊形OEDC的面積分別記為S1、S2 ， 則S1：S2的值為（直接寫答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（6，0）代入y=ax2+3x得36a+18=0，解得a=﹣ ；

拋物線解析式為y=﹣ x2+3x，

∵y=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴M點的坐標為（3， ）

（2）解：∵CF∥OE，EF∥OC，

∴四邊形OCFE為平行四邊形，

∴EF=OC=2，

∵拋物線的對稱軸為直線x=3，B（3，0），

∴F點的橫坐標為5，

當x=5時，y=﹣ x2+3x= ，即F（5， ），

∴BE= ，

∵EF∥BC，

∴△BCD∽△EFD，

∴ = = ，

∴BD= BE= × = ，

即當BD為 時，點F恰好落在該拋物線上

（3）∵CD∥OE,∴∠BOE=∠DCB=45°∴△BOE為等腰直角三角形, ∴BE=OE=3,則E（3,3）,∴直線OE的解析式為y=x,同理可得△BCD為等腰直角三角形,∴BD=BC=1,∴DE=2,∵EF∥OC,EF=OC=2,∴F（5,3）,設直線MF的解析式為y=kx+b,把M（3, ）,F（5,3）代入得 ,解得 ,∴直線MF的解析式為y=﹣ x+ ；,
【解析】解：（3）②解方程組 得 ，則G（ ， ），

∴S1=S△GEF+S△DEF= ×2×（ ﹣3）+ ×2×2= ，

S2=S△BOE﹣S△BCD= ×3×3﹣ ×1×1=4，

∴ = = ．

所以答案是 ．

【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．