Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，△AOB的三個頂點的坐標分別是A（4，4），O（0，0），B（6，0），點M是射線OB上的一動點，過點M作MN∥AB，MN與射線OA交于點N，P是AB邊上的任意點，連接AM，PM，PN，BN，設△PMN的面積為S．

（1）點M的坐標為（2，0）時，求點N的坐標．

（2）當M在邊OB上時，S有最大值嗎？若有，求出S的最大值；若沒有，請說明理由．

（3）是否存在點M，使△PMN和△ANB中，其中一個面積是另一個2倍？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）N（，）；

（2）x=3時，S有最大值為3

（3）M（12，0）或M（3，0）．

【解析】

試題分析：（1）由相似三角形的性質即可，

（2）由兩直線平行，得到三角形相似，再由相似得到比例式，表示出NH，從而求出S的函數關系式；

（3）利用同高的兩個三角形的面積比是底的比，得出MN=2AB，求出OM，得到點M的坐標．

試題解析：（1）∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

∴NH=，

∵點N在直線OA上，直線OA的解析式為y=x，

∴N（，）；

（2）設OM=x，∵MN∥AB，

∴S△MNB=S△PMN=S，

∵△OMN∽△OAB，

∴，NH=x，

∴S=MB×BH=（6﹣x）×x=﹣（x﹣3）2+3，

∴x=3時，S有最大值為3．

（3）假設存在，

設MN與AB之間的距離為h，

若S△PMN=2S△ANB，

∴MH×h=2×AB×h，

∴MN=2AB，

∵△OMN∽△OAB，

∴=2，

∴OM=12，

∴M（12，0），

若S△ANB=2S△PMN，同理可得M（3，0），

∴M（12，0）或M（3，0）．