Question

（2004•泰州）如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長交AD的延長線于點F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=CM•CF；
（3）若CM=，MF=，求BD；
（4）若過點D作DG∥BE交EF于點G，過G作GH∥DE交DF于點H，則易知△DGH是等邊三角形．設等邊△ABC、△BDE、△DGH的面積分別為S₁、S₂、S₃，試探究S₁、S₂、S₃之間的等量關系，請直接寫出其結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，證明∠OBE=90°即可；
（2）欲證AC²=CM•CF，即證AC：CF=CM：AC，連接AM，通過證明△ACM∽△FCA可以得出；
（3）由（2）的結論先求出AC的長，再根據割線定理得出FB•FA=FM•FC，求出FB，再由EB∥AC得出BE：AC=FB：FA，求出BE，得出BD的長；
（4）探究S₁、S₂、S₃之間的等量關系，可以先證明△DGH∽△BDE∽△ABC，得出DH：DB=DB：AB，根據面積比是相似比的平方得出S₂²=S₁•S₃或．
解答：（1）證明：連接OB
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°（1分）
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE（2分）
∴BE是⊙O的切線；（3分）

（2）證明：連接AM，則∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°（4分）
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA（5分）
∴
∴AC²=CM•CF；（6分）

（3）解：∵AC²=CM•CF
∴AC=2（7分）
設FB=x
∵FB•FA=FM•FC
∴
∴x=4，x=-6（舍去）
∴FB=4（8分）
∵EB∥AC
∴
∴（9分）
∴BE=
∴BD=；（10分）

（4）解：S₂²=S₁•S₃或（12分）．
點評：考查了切線的判定及有關性質，相似三角形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．