Question

【題目】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．

（1）如圖1，當點A、C、D在同一條直線上時，AC=12，EC=5．

①求證：AF⊥BD，

②求AF的長度；

（2）如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時．求證：AF⊥BD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點G，∠AFG是一個固定的值嗎？若是，求出∠AFG的度數，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AF=（2）見解析（3）∠AFG=45°

【解析】

試題分析：（1）①根據SAS可證△ACE≌△BCD，再根據全等三角形的性質可得∠1=∠2，再結合對頂角相等證得結論；

②根據同一個三角形的面積不變可求的AF得值；

（2）如①的方法，根據SAS證得△ACE≌△BCD，再根據全等三角形的性質和垂直的定義可證；

（3）如圖4，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，然后由上面的結論△ACE≌△BCD，可根據全等三角形的面積相等證得CM=CN，再根據角平分線的判定得證CF平分∠BFE，最后根據角平分線的性質得證．

試題解析：（1）①證明：如圖1，∵AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，

∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AF⊥BD．

②∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴BD=13，

∵S△ABD=AD·BC=BD·AF，∴AF=．

（法2：∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴AE=BD=13，BE=7，設EF=x，

∵∠BFE=90°，∴BF2=BE2-EF2，BF2=AB2-AF2，∴72-x2=288-（13+x）2，

∴x=，∴AF=13+=．）

（2）證明：如圖4，∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，

∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF⊥BD．

（3）∠AFG=45°．

如圖4，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，

∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，∵S△ACE=AE·CN，

S△BCD=BD·CM，∴CM=CN，

∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．

（法2：過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，∵CM⊥BD，CN⊥AE，

∴∠BMC=∠ANC=90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，∵∠BMC=∠ANC=90°，∠1=∠2，

AC=BC，∴△BCM≌△ACN，∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．）