Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點F．

(1)如圖①，當AE⊥BC時，寫出圖中所有與∠B相等的角：　 ；所有與∠C相等的角：　 　 ．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．

① 求∠B的度數；

②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30

【解析】

（1）由翻折的性質和平行線的性質即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；

（2）①由三角形內角和定理可得，再由根據角的和差計算即可得∠C的度數，進而得∠B的度數．

②根據翻折的性質和三角形外角及三角形內角和定理，用含x的代數式表示出∠FDE、∠DFE的度數，分三種情況討論求出符合題意的x值即可．

（1）由翻折的性質可得：∠E＝∠B，

∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，

∴∠DFE＝90°，

∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，

即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，

∴∠C＝∠FDE，

∴AC∥DE，

∴∠CAF＝∠E，

∴∠CAF＝∠E＝∠B

故與∠B相等的角有∠CAF和∠E；

∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，

∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°

∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°

∴∠BAF＝∠C

又AC∥DE，

∴∠C＝∠CDE，

∴故與∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；

（2）①∵

∴

又∵，

∴∠C＝70°，∠B＝20°;

②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°則,,

由翻折可知：∵, ,

∴, ,

當∠FDE＝∠DFE時，, 解得：；

當∠FDE＝∠E時，，解得：（因為0＜x≤45，故舍去）；

當∠DFE＝∠E時，，解得：（因為0＜x≤45，故舍去）；

綜上所述，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．且．