Question

已知拋物線y=x²-（m²+5）x+2m²+6．
（1）求證：無論m為何值，拋物線與x軸必有兩個交點，并且有一個交點必為A（2，0）；
（2）設拋物線與x軸的另一個交點為B，記AB的長為d，求d與m之間的函數關系式；
（3）令d=10，問拋物線上是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令拋物線中y=0，即可用十字相乘法求得兩根的值，由此可得證．
（2）在（1）中已經求得了兩點的坐標，即可表示出AB的距離．
（3）根據d的長以及（2）中得出的d的表達式可確定出拋物線的解析式，也就能得出A、B的坐標．可以AB為直徑作圓，圓與拋物線有交點，說明拋物線上存在符合條件的P點，可根據拋物線的解析式設出P點坐標（設橫坐標，根據拋物線的解析式表示出縱坐標），在直角三角形ABP中，∠APB=90°，如果過P作PQ⊥x軸于Q，那么根據射影定理可得出PQ²=AQ•QB，由此可求出P點坐標．

解答：解：（1）令y=0，得x²-（m²+5）x+2m²+6=0，
即（x-2）（x-m²-3）=0
解得x₁=2，x₂=m²+3
∴一定有交點A（2，0），B（m²+3，0）
∴結論得證

（2）∵A（2，0），B（m²+3，0）
∴d=AB=m²+1

（3）d=AB=m²+1=10，
∴y=x²-14x+24
∴A（2，0），B（12，0）
以AB為直徑畫圓，由圖可知與拋物線有兩個交點
∴存在這樣的點P
設點P坐標為（x，x²-14x+24），作P₁Q⊥橫軸于Q，則點Q（x，0）
易得△AQP∽△PQB
∴

AQ

QP

=

PQ

QB

，
∴PQ²=AQ•BQ=（x-2）（12-x）=（x²-14x+24）²
即（x-2）（12-x）=（x-2）²（x-12）²，（x-2）（x-12）≠0，
∴解得x=7±2

6

∴點P為（7+2

6

，-1），或（7-2

6

，-1）．

點評：本題考查了二次函數與一元二次方程的關系、直角三角形的判定等知識．綜合性較強，難度適中．