Question

【題目】已知：關于x的方程x2﹣（m+2）x+m+1=0．
（1）求證：該方程總有實數根；
（2）若二次函數y=x2﹣（m+2）x+m+1（m＞0）與x軸交點為A，B（點A在點B的左邊），且兩交點間的距離是2，求二次函數的表達式；
（3）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點．
在（2）的條件下，垂直于y軸的直線y=n與拋物線交于點E，F．若拋物線在點E，F之間的部分與線段EF所圍成的區域內（包括邊界）恰有7個整點，結合函數的圖象，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△=（m+2）2﹣4（m+1）=m2≥0，

∴不論m取何值，該方程總有實數根

（2）

解：由題意可知：y=x2﹣（m+2）x+m+1=（x﹣1）（x﹣m﹣1），

∴A（1，0），B（m+1，0）．

∵兩交點間距離為2，

∴m+1﹣1=2．

∴m=2．

∴y=x2﹣4x+3

（3）

解：如圖所示，

n的取值范圍是：1≤n＜2

【解析】（1）根據關于x的方程x2﹣（m+2）x+m+1=0判別式的符號進行證明；（2）將已知函數解析式轉化為兩點式方程，求得點A、B的橫坐標，然后結合已知條件求得m的值即可；（3）根據題意作出圖形，結合圖形直接寫出n的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的概念的相關知識，掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數，以及對二次函數的圖象的理解，了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．