Question

如圖⊙P的圓心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直線與⊙P切于C，若⊙P的半徑為r，⊙O的半徑為R.⊙O和⊙P的面積比為9∶4，且PA=10，PB=4.8，DE=5，C、P、D三點共線

（1）求證：；
（2），求AE的長；
（3）連結PD，求sin∠PDA的值.

Answer 1

（1）見解析（2）7（3）

（1）證明：連結CP，作⊙O的直徑AF，連結PF，則∠APF＝90°
∵AC切于⊙O于C
∴∠ACP=90°=∠APF
又∵∠PBC=∠BAP+∠BPA  （1分）
連結FB，則∠AFB=∠BPA，∠BFP=∠BAP
∴∠PBC=∠BAP+∠BPA=∠AFB+∠BFP=∠AFP   （2分）
（此處也可用圓內接四邊形的定理求出）    
∴△APF∽△PCB
∴，∵AF=2R，PC=r, ∴,
∴   (4分)
（2）解：∵⊙O和⊙P的面積比為9：4
∴ R : r="3" : 2     （5分）
∴
∴，即PC=4   （6分）
在Rt△APC 中   （7分）
連結CE，∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC
∴△AEC∽△ACD
∴，   （8分）
∴
∴          （9分）
∴或
∵線段長不為負數，∴      （10分）
（3）解：sin∠PDA=sin∠PFA=  （12分）
∵，R=
∴AF=12
∴sin∠PDA=           （14分）
本題綜合考查了相似三角形是判定與性質、圓內接四邊形的性質及切線的性質．
解第（1）、（2）問的解決運用了以下知識：切線的性質，圓周角定理的推論，圓的內接四
邊形的性質．由此可以看出在兩圓的位置關系問題中，綜合知識的運用是至關重要的；第
（3）利用三角函數求解