Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D在邊BC上，DE∥AB交AC于E，延長DE至點F，使EF=AE，聯結AF、BE和CF．

（1）求證：△EDC是等邊三角形；

（2）找出圖中所有的全等三角形，用符號“≌”表示，并對其中的一組加以證明；

（3）若BE⊥AC，試說明點D在BC上的位置．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

①根據等邊三角形ABC，以及AB∥DF，可得；

②△ABC為等邊三角形，所以AB=AC,又CD=CE,所以BD=AE=EF,可知△CDE△AEF為等邊三角形，所以∠BDE=∠CEF,所以△BDE≌△EFC,從而得BE=CF,由SSS知△CBE≌△FDC,因為AB=CB=CF,AE=AF,∠BAE=∠EAF=60°，由SAS可知△ABE≌△ACF;

③若BE⊥AC，則E為AC中點，所以D在CB中點.

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°

(等邊三角形的每個內角都是60°)

又∵DE∥AB

∴∠EDC=∠ABC=60°,∠DEC=∠BAC=60°(兩直線平行，同位角相等)

∴△EDC是等邊三角形

（三個內角都是60°的三角形是等邊三角形）

（2）圖中的全等三角形有：

△ECF≌△DEB,△AEB≌△AFC，△BCE≌△FDC

完整地證出一組：△ABC為等邊三角形，所以AB=AC,又CD=CE,所以BD=AE=EF,可知△CDE△AEF為等邊三角形，所以∠BDE=∠CEF,所以△BDE≌△EFC.

（3）解：若BE⊥AC

又∵AB=BC．

∴E是AC的中點（等腰三角形的三線合一）．

即CE=AC．

∵CE=CD，AC=BC，

∴CD=BC．

∴點D是BC的中點．