Question

（2010•東陽市模擬）已知拋物線y=-x²+bx+c經過點A（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線的頂點為B，在拋物線上是否存在點C，使得A、B、O、C四點構成的四邊形為梯形？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試問在拋物線上是否存在著點P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與對稱軸相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出對稱軸被⊙P所截得的弦EF的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的對稱軸方程可確定b的值，將C點坐標代入拋物線的解析式中，可確定c的值，從而得到該拋物線的解析式．
（2）此題應分兩種情況考慮：
①AB∥OC，易求得直線AB的解析式，即可確定直線OC的解析式，聯立拋物線的解析式即可得到點C的坐標；
②AC∥OB，參照①的解題思路，先求出直線OB的解析式，進而可確定直線AC的解析式，再聯立拋物線的解析式求出點C的坐標．
（3）由于⊙P半徑為3，且與x軸相切，那么點P的縱坐標的絕對值為3，將其代入拋物線的解析式中，即可求得P點的坐標．此時根據點P的坐標、⊙P的半徑以及拋物線的對稱軸方程，可先確定拋物線對稱軸與⊙P的位置關系，若相交，即可由垂徑定理和勾股定理求得弦EF的長度．
解答：解：（1）由題意得，
∴b=4、c=4，
∴y=-x²+4x+4．（3分）

（2）y=-（x-2）²+8，B（2，8），
①AB∥OC時，直線AB：y=2x+4，則CO為y=2x；（1分）

解得，
∴，（2分）
②AC∥OB時，直線OB：y=4x，則AC為y=4x+4；

解得，
∴C（0，4），與點A重合，舍去．（1分）

（3）①當點P在x軸上方時，
y=-x²+4x+4=3，
解得x₁=2+，x₂=2-，
P₁（2+，3），P₂（2-，3）；
此時P到對稱軸直線x=2的距離為＜3，
即⊙P與對稱軸相交．（2分）
對稱軸被⊙P所截得的弦EF的長度為4．（2分）
②當點P在x軸下方時，y=-x²+4x+4=-3，
解得x₁=2+，x₂=2-，
P₃（2+，-3），P₄（2-，-3）
此時P到對稱軸直線x=2的距離為＞3，
即⊙P與對稱軸不相交．（1分）
其他解法相應給分．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、梯形的判定、函數圖象交點坐標的求法、切線的性質、直線與圓的位置關系等知識，綜合性強，難度中上．