Question

【題目】已知如圖，在數軸上點， 所對應的數是， ．

對于關于的代數式，我們規定：當有理數在數軸上所對應的點為之間（包括點， ）的任意一點時，代數式取得所有值的最大值小于等于，最小值大于等于，則稱代數式，是線段的封閉代數式．

例如，對于關于的代數式，當時，代數式取得最大值是；當時，代數式取得最小值是，所以代數式是線段的封閉代數式．

問題：（）關于代數式，當有理數在數軸上所對應的點為之間（包括點， ）的任意一點時，取得的最大值和最小值分別是__________．

所以代數式__________（填是或不是）線段的封閉代數式．

（）以下關的代數式：

①；②；③；④．

是線段的封閉代數式是__________，并證明（只需要證明是線段的封閉代數式的式子，不是的不需證明）．

（）關于的代數式是線段的封閉代數式，則有理數的最大值是__________，最小值是__________．

Answer 1

【答案】（）見解析（）④（）；

【解析】試題分析：（1）觀察數軸，當時， 取得最大值為，當時， 取得最小值為，所以代數式不是線段的封閉代數式；

（2）按照封閉代數式的定義，逐個分析即可；

（3）觀察代數式可知，當時， 取得最大值為，列方程求出x的值；當時，

取得最小值為，列方程求出x的值；然后從中選出最大的和最小的.

（）解：當時， 取得最大值為，

當時， 取得最小值為，

∵的最大值，

∴不是線段的封閉代數式．

（）證明：①∵ ，

∵，

∴，

∵的最小值為，不滿足最小值大于等于，

∴不是線段的封閉代數式．

②當時，

代數式取得最大值，不滿足最大值小于等于，

∴不是線段的封閉代數式．

③當時，

代數式取得最大值，不滿足最大值小于等于，

∴不是線段的封閉代數式．

④當時，

原式

，

當時，

原式

，

∴，

當時，

原式

，

綜上所述： 滿足最大值小于等于，最小值大于等于，

∴是線段的封閉代數式．

（）當時，

取得最大值為，

則或，

∴或，

當時，

取得最小值為，

則或，

∴或，

綜上所述： 的最大值為，最小值為．

點睛:本題考查了信息遷移類題目的解答，用到了數軸上兩點間的距離，解絕對值方程等知識點和分類討論的數學思想；正確理解“封閉代數式”的意義是解答本題的關鍵.