Question

【題目】如圖，點E在以AB為直徑的⊙O上，點C是 的中點，過點C作CD垂直于AE，交AE的延長線于點D，連接BE交AC于點F．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若cos∠CAD= ，BF=15，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，如圖1所示．

∵點C是 的中點，

∴ = ，

∴OC⊥BE．

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BE，

∴AD∥OC．

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：過點O作OM⊥AC于點M，如圖2所示．

∵點C是 的中點，

∴ = ，∠BAC=∠CAE，

∴ = ．

∵cos∠CAD= ，

∴ = ，

∴AB= BF=20．

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO= AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD= ，

∴AM=AOcos∠OAM=8，

∴AC=2AM=16．

【解析】（1）連接OC，由點C是 的中點利用垂徑定理可得出OC⊥BE，由AB是⊙O的直徑可得出AD⊥BE，進而可得出AD∥OC，再根據AD⊥CD可得出OC⊥CD，由此即可證出CD是⊙O的切線．（2）過點O作OM⊥AC于點M，由點C是 的中點利用圓周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根據角平分線的定理結合cos∠CAD= 可求出AB的長度，在Rt△AOM中，通過解直角三角形可求出AM的長度，再根據垂徑定理即可得出AC的長度．
【考點精析】本題主要考查了解直角三角形的相關知識點，需要掌握解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．