Question

如圖，G是正六邊形ABCDEF的邊CD的中點，連接AG交CE于點M，則GM：MA=

 

．

Answer 1

分析：延長CE交AF的延長線于H，延長DE交AF延長線于L，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和定理可求出各內(nèi)角的度數(shù)，利用平角的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可求出△FEL是等邊三角形；再根據(jù)AAS定理求出△CDE≌△HLE，可得出AF=FL=HL，再利用AF∥CD可得△CGM∽△HAM，由三角形的相似比即可求解．

解答：解：延長CE交AF的延長線于H，延長DE交AF延長線于L；
∵∠AFE=∠FED=∠CDE=

180°×(6-2)

6

=120°，
∴∠LFE=∠FEL=180°-120°=60°，
∴AF=EF=FL=EL；
∵∠HLE是△EFL的外角，
∴∠HLE=∠LFE+∠FEL=120°，
∴∠HLE=∠CDE；
∵∠CED=∠FEH，DE=EL，
∴△CDE≌△HLE，
∴CD=HL，
∴AH=3AF=3CD；
∵G是CD的中點，即CG=

1

2

CD，
∴CG：AH=

1

2

：3=1：6．
∵AF∥CD，
∴△CGM∽△HAM，GM：AM=CG：AH=

1

2

：3=1：6．

點評：本題難度較大，涉及到等邊三角形、全等三角形及相似三角形的判定定理及性質(zhì)，有一定的綜合性，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形是解答此題的關(guān)鍵．