Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O。

（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運動過程中，
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值；
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數量關系式。

Answer 1

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE， ∵EF垂直平分AC，垂足為O， ∴OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴四邊形AFCE為平行四邊形， 又∵EF⊥AC， ∴四邊形AFCE為菱形， ②設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，AB=4cm， 由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2， 解得x=5， ∴AF=5cm；
（2）①顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形； 同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不能構成平行四邊形， 因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形， ∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA， ∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒， ∴PC=5t，QA=12﹣4t， ∴5t=12﹣4t， 解得， ∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，秒，
②由題意得，以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上， 分三種情況： （i）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12
（ii）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12
（iii）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12， 綜上所述，a與b滿足的數量關系式是a+b=12（ab≠0）。