Question

【題目】如圖①，直線y=x+4交于x軸于點A，交y軸于點C，過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數的表達式；

（2）若點M是拋物線F1位于第二象限圖象上的一點，設四邊形MAOC和△BOC的面積分別為S四邊形MAOC和S△BOC，記S=S四邊形MAOC﹣S△BOC，求S最大時點M的坐標及S的最大值；

（3）如圖②，將拋物線F1沿y軸翻折并“復制”得到拋物線F2，點A、B與（2）中所求的點M的對應點分別為A′、B′、M′，過點M′作M′E⊥x軸于點E，交直線A′C于點D，在x軸上是否存在點P，使得以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣x+4;(2)S有最大值為，此時，M（﹣，5）；點P的坐標為（2，0）或（﹣，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據一次函數的解析式y=x+4可求出點A、C的坐標，再把A、B、C的坐標代入，利用待定系數法求二次函數的解析式；（2）由于M在拋物線F1上，所以可設M（a，﹣a2﹣a+4），分別計算S四邊形MAOC和S△BOC，過點M作MD⊥x軸于點D，則S四邊形MAOC的值等于△ADM的面積與梯形DOCM的面積之和，求得S四邊形MAOC的值，再由S=S四邊形MAOC﹣S△BOC表示出S與a的二次函數關系，根據二次函數的性質即可得S最大時點M的坐標及S的最大值；（3）由于不確定點P的具體位置，所以需要將點P的位置進行分類討論，當點P在A′的右邊時，此情況是不存在；當點P在A′的左邊時，此時∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似，則分為以下兩種情況進行討論：①；②，分別求得點P的坐標即可.

試題解析：（1）令y=0代入y=x+4，

∴x=﹣3，

A（﹣3，0），

令x=0，代入y=x+4，

∴y=4，

∴C（0，4），

設拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣，

∴y=﹣x2﹣x+4，

（2）如圖①，設點M（a，﹣a2﹣a+4）

其中﹣3＜a＜0

∵B（1，0），C（0，4），

∴OB=1，OC=4

∴S△BOC=OBOC=2，

過點M作MD⊥x軸于點D，

∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，

∴S四邊形MAOC=ADMD+（MD+OC）OD

=ADMD+ODMD+ODOC

=+

=+

=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）

=﹣2a2﹣6a+6

∴S=S四邊形MAOC﹣S△BOC

=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2

=﹣2a2﹣6a+4

=﹣2（a+）2+

∴當a=﹣時，

S有最大值，最大值為

此時，M（﹣，5）；

（3）如圖②，由題意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0）

∴AB′=2

設直線A′C的解析式為：y=kx+b，

把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，

得：，

∴

∴y=﹣x+4，

令x=代入y=﹣x+4，

∴y=2

∴

由勾股定理分別可求得：AC=5，DA′=

設P（m，0）

當m＜3時，

此時點P在A′的左邊，

∴∠DA′P=∠CAB′，

當=時，△DA′P∽△CAB′，

此時， =（3﹣m），

解得：m=2，

∴P（2，0）

當=時，△DA′P∽△B′AC，

此時， =（3﹣m）

m=﹣，

∴P（﹣，0）

當m＞3時，

此時，點P在A′右邊，

由于∠CB′O≠∠DA′E，

∴∠AB′C≠∠DA′P

∴此情況，△DA′P與△B′AC不能相似，

綜上所述，當以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似時，點P的坐標為（2，0）或（﹣，0）．