Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點P、Q分別是AB邊和CD邊上的動點，點P從點A向點B運動，點Q從點C向點D運動，且保持AP=CQ．設AP=x．
（1）當PQ∥AD時，求x的值；
（2）當線段PQ的垂直平分線與BC邊相交時，求x的取值范圍；
（3）當線段PQ的垂直平分線與BC相交時，設交點為E，連接EP、EQ，設△EPQ的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，證明四邊形APQD是矩形，再根據矩形的性質和AP=CQ求x即可；
（2）連接EP、EQ，則EP=EQ，設BE=y，列出等式（8-x）²+y²=（6-y）²+x²然后根據函數的性質來求x的取值范圍；
（3）由圖形的等量關系列出方程，再根據函數的性質來求最值．

解答：解：（1）當PQ∥AD時，則
∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，
又∵AB∥CD，
∴四邊形APQD是矩形，
∴AP=QD，
∵AP=CQ，
AP=

1

2

CD=

1

2

×8=4，
∴x=4．

（2）如圖，連接EP、EQ，則EP=EQ，設BE=y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=

4x-7

3

．
∵0≤y≤6，
∴0≤

4x-7

3

≤6，
∴

7

4

≤x≤

25

4

．

（3）S_△BPE=

1

2

•BE•BP=

1

2

•

4x-7

3

•（8-x）=

-4x2+39x-56

6

，
S_△ECQ=

1

2

•CE•CQ=

1

2

•（6-

4x-7

3

）•x=

-4x2+25x

6

，
∵AP=CQ，
∴S_BPQC=

1

2

S矩形ABCD=24，
∴S=S_BPQC-S_△BPE-S_△ECQ=24-

-4x2+39x-56

6

-

-4x2+25x

6

，
整理得：S=

4x2-32x+100

3

=

4

3

（x-4）²+12（

7

4

≤x≤

25

4

），
∴當x=4時，S有最小值12，
當x=

7

4

或x=

25

4

時，S有最大值

75

4

．
∴12≤S≤

75

4

．

點評：解答本題時，涉及到了矩形的判定、矩形的性質、勾股定理以及二次函數的最值等知識點，這是一道綜合性比較強的題目，所以在解答題目時，一定要把各個知識點融會貫通，這樣解題時才會少走彎路．