Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+c經過A（1，0），B（0，﹣2）兩點．連結AB，過點A作AC⊥AB，交拋物線于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點C的坐標；

（3）將拋物線沿著過A點且垂直于x軸的直線對折，再向上平移到某個位置后此拋物線與直線AB只有一個交點，請直接寫出此交點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2﹣2；（2）（﹣，）；（3）（，3）．

【解析】

試題分析：（1）因為拋物線y=ax2+c經過A（1，0），B（0，﹣2）兩點，則有：解得：，所求的拋物線的解析式是：y=2x2﹣2；

（2）∵AC⊥AB，又根據題意可知：OA⊥BD，∴Rt△AOD∽Rt△BOA，∴，∴OD=，又根據A（1，0），B（0，﹣2），則有：AO=1，BO=2，∴OD=，∴D（0，），設直線AC的解析式是y=kx+b，則有，解得：，∴所求的解析式是：y=﹣x+，由直線AC與拋物線y=2x2﹣2相交，則有：﹣x+=2x2﹣2，解得：x1=﹣，x2=1，當x=﹣時，y=﹣×（﹣）+=，∴點C的坐標是（﹣，）；

（3）拋物線沿著過A點且垂直于x軸的直線對折后與x軸的交點坐標為（1，0）和（3，0），此時拋物線解析式為y=2（x﹣2）2﹣2，向上平移此時解析式為y=2（x﹣2）2+k，直線AB的解析式為y=2x﹣2，則2（x﹣2）2+k=2x﹣2，△=100﹣80﹣8k=0，解得k=，即2（x﹣2）2+=2x﹣2，解得x=，所求交點的坐標是（，3）．