Question

某課題學習在探討一團周長為4a的線圈時，發現了如下兩個命題：
命題1：如圖①，當線圈做成正三角形ABC時，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．
命題2：如圖②，當線圈做成正方形ABCD時，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．
請你繼續探究下列幾個問題：
（1）如圖③，當線圈做成正五邊形ABCDE時，請說明能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住；
（2）如圖④，當線圈做成平行四邊形ABCD時，能否被半徑為a的圓形紙片完全蓋住請說明理由；
（3）如圖⑤，當線圈做成任意形狀的圖形時，是否還能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住？若能蓋住，請通過計算說明；若不能蓋住，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）為了證明其半徑小于a，只需證明OA＜AB．根據它們所對的角的大小即可證明；
（2）只需證明平行四邊形的四個頂點到對角線的交點的距離小于a即可．
（3）只需取曲線上兩點A、B，使曲線分成相等的兩部分，根據三角形第三邊上的中線小于其它兩邊的和的一半進行證明．
解答：解：（1）在如圖③中，

∵∠AOB=72°，∠OAB=∠OBA=54°．
∴∠OAB＜∠AOB，
∴OA＜AB=＜a．
同理OB=OC=OD=OE＜a．
∴以O為圓心，半徑為a的圓完全蓋住正五邊形ABCDE．

（2）當線圈做成平行四邊形時，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．

其理由是：在如圖④中，
∵OB+OD＜AB+AD=2a，
∴OB=OD＜a．
同理OA=OC＜a，
∴平行四邊形ABCD能被以O為圓心，半徑為a的圓形紙片完全蓋住．

（3）當線圈做成任意形狀的圖形時，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．
其理由是：在如圖⑤中，取曲線上兩點A、B，使曲線分成相等的兩部分，連接AB，在其中一部分上任取一點C，連接AC、BC、C與AB的中點O，則有OC＜（AC+BC）＜a．
∴當線圈做成任意形狀的曲線時，都可以被半徑為a的圓形半徑紙片完全蓋住．
點評：能夠根據三角形的三邊關系以及邊角關系進行證明．注意：三角形一邊上的中線小于其它兩邊的和的一半．