Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC＝10，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC于F，交CB的延長線于點E．

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）若sin∠E＝，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝2．

【解析】

（1）連接OD，根據等腰三角形性質求出∠A=∠ABC=∠ODB，推出OD∥AC，推出OD⊥DF，根據切線判定推出即可；

（2）連接BG，推出BG∥EF，推出∠E=∠GBC，根據已知推出sin∠GBC==，求出CG，求出AG，根據勾股定理求出BG，在△BGA中，根據勾股定理求出AB即可．

（1）證明：連接OD，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠BAC，

∵OD＝OB，

∴∠ABC＝∠ODB，

∴∠BAC＝∠BDO，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∵OD為半徑，

∴直線EF是⊙O的切線；

（2）連接BG，

∵BC是⊙O直徑，

∴∠BGC＝90°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝90°＝∠BGC，

∴BG∥EF，

∴∠E＝∠GBC，

∵sin∠E＝，

∴sin∠GBC＝＝，

∵BC＝10，

∴CG＝4，

∴AG＝10﹣4＝6，由勾股定理得：BG＝，

在Rt△BGA中，由勾股定理得：AB＝，即AB＝2．