Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉90°、180°和270°，構成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數學家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數學家大會的會標設計的主要依據．

（1）請利用這個圖形證明勾股定理；

（2）請利用這個圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號成立的條件；

（3）請根據（2）的結論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當x，y取何值時，該長方形的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當且僅當a＝b時，等號成立；（3）當且僅當x＝y=2時，長方形的面積最大，最大面積是4．

【解析】

1）根據題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式．
（2）利用非負數的性質證明即可．
（3）利用（2）中的結論求得當x，y取何值時，該矩形面積最大以及其最大面積．

解：（1）因為邊長為c的正方形面積為c2，

它也可以看成是由4個直角三角形與1個邊長為（a– b）的小正方形組成的，

它的面積為4×ab＋(a– b)2＝a2＋b2，

所以c2＝a2＋b2．

（2）∵(a– b)2≥0，

∴a2＋b2–2ab≥0，∴a2＋b2≥2ab，

當且僅當a＝b時，等號成立．

（3）依題意得2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，長方形的面積為xy，

由（2）的結論知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy，

∴4xy≤(x＋y)2，∴xy≤4，

當且僅當x＝y=2時，長方形的面積最大，最大面積是4．