Question

【題目】問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，點D是邊CB上任意一點，△ADE是等邊三角形，且點E在∠ACB的內部，連接BE．探究線段BE與DE之間的數量關系．請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．

（1）當點D與點C重合時（如圖2），請你補全圖形．由∠BAC的度數為 ，點E落在 ______ ，容易得出BE與DE之間的數量關為 ；

（2）當點D是BC上任意一點（不與點B、C重合）時，結合圖1，探究（1）中線段BE與DE之間的數量關系是否還成立？并證明你的結論．

（3）如圖3，若點P為直線BC上一點，若△PAB為等腰三角形，請你求出∠APB的度數.

Answer 1

【答案】（1）60°；AB的中點處；BE＝DE；（2）BE＝DE依然成立，證明見解析；（3）∠APB的度數為15°或30°或75°或120°.

【解析】

（1）根據題意畫出圖形，由直角三角形及等邊三角形的性質即可得出結論；

（2）根據題意畫出圖形，猜想：BE＝DE，取AB的中點F，連接EF，由∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，可知∠1＝60°，CF＝AF＝AB，故△ACF是等邊三角形，再由△ADE是等邊三角形可得出∠CAD＝∠FAE，由全等三角形的判定定理可知△ACD≌△AFE，故∠ACD＝∠AFE＝90°．由F是AB的中點，可知EF是AB的垂直平分線，進而可得出BE＝AE，結合DE＝AE可得BE＝DE；

（3）分三種情況討論：①當AP＝AB時，②當BP＝AB時，③當AP＝BP時，根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理分別計算即可．

解：（1）如圖2，

∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝60°，

∵△ADE是等邊三角形，

∴AE＝CE，

∴點E落在AB的中點處；

∴AE＝CE＝BE＝DE，

故答案為：60°；AB的中點處；BE＝DE；

（2）BE＝DE依然成立．

證明：如圖3．取AB的中點F，連接EF．

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴∠1＝60°，CF＝AF＝AB，

∴△ACF是等邊三角形．

∴AC＝AF①，

∵△ADE是等邊三角形，

∴∠2＝60°，AD＝AE②，

∴∠1＝∠2．

∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠CAD＝∠FAE③

由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）．

∴∠ACD＝∠AFE＝90°．

∵F是AB的中點，

∴EF是AB的垂直平分線，

∴BE＝AE，

∵△ADE是等邊三角形，

∴DE＝AE，

∴BE＝DE；

（3）如圖4，

∵△PAB為等腰三角形，

∴①當AP＝AB時，即：AP1＝AB，

∴∠AP1B＝∠ABP1＝30°；

②當BP＝AB時，

Ⅰ、BP2＝AB，

∴∠AP2B＝（180°∠ABC）＝75°，

Ⅱ、BP4＝AB，

∴∠BAP4＝∠AP4B，

∵∠ABC＝30°＝∠BAP4＋∠AP4B，

∴∠AP4B＝15°；

③當AP＝BP時，即：AP3＝BP3，

∴∠BAP3＝∠ABC＝30°，

∴∠AP3B＝180°∠ABC∠BAP3＝120°，

綜上所述，若△PAB為等腰三角形，∠APB的度數為15°或30°或75°或120°．