Question

如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC的中點，且∠A＋∠CDB＝90°，過點A、D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E.

(1)求證：直線BD與⊙O相切；
(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）見解析   （2）5

(1)證明：連接OD，在△AOD中，OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，
又∵∠A＋∠CDB＝90°
∴∠ODA＋∠CDB＝90°，
∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，
∴BD與⊙O相切．
(2)解：連接DE，∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE＝90°，
∴DE∥BC.
又∵D是AC的中點，∴AE＝BE.
∴△AED∽△ABC.
∴AC∶AB＝AD∶AE.
∵AC∶AB＝4∶5，
令AC＝4x，AB＝5x，則BC＝3x.
∵BC＝6，∴AB＝10，
∴AE＝5，∴⊙O的直徑為5.