Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2＋2ax－3a的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右邊），與y軸交于點C．

（1）請直接寫出A、B兩點的坐標：A ， B ；

（2）若以AB為直徑的圓恰好經過這個二次函數圖像的頂點．

①求這個二次函數的表達式；

②若P為二次函數圖像位于第二象限部分上的一點，過點P作PQ平行于y軸，交直線BC于點Q．連接OQ、AQ，是否存在一個點P，使tan∠OQA＝？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）、B（－3，0）；（2）①y＝－x2－x＋；②存在，P（－，）

【解析】分析：（1）令y＝0，解關于x的方程，即可求出A、B兩點的坐標；

（2）①根據AB的長及拋線頂點坐標公式，即可求出拋物線的解析式；

②利用函數三角函數及相似的判定與性質即可求出答案.

詳解：（1）把y＝0代入二次函數y＝ax2＋2ax－3a，

，

∵，

∴，

解得，

∴A（1，0）、B（－3，0）；

（2）①∵拋物線頂點（－1，－4a），AB＝4，

∴－4a＝2，∴a＝－，

∴y＝－x2－x＋，

②存在一個點P（－，），使tan∠OQA＝，

∵＝ ＝，

∴tan∠ABQ＝，

∴∠OQA＝∠QBA，

∴△AQO∽△ABQ．

∴AQ2＝AO×AB＝4，

設點P（x，－x2－x＋），則Q（x， x＋），

∴（1－x）2＋（x＋）2＝4，

解得x＝－或x＝1（不合題意，舍去），

∴點P的坐標為（－，）．