Question

如圖，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線與AB交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D.點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)0<t<5時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求（2）中S的最大值.

（4）當(dāng)t>0時(shí)，直接寫出點(diǎn)（4，）在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍.

【參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）.】

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意，得解得

∴C（3,）.                                      

（2）根據(jù)題意，得AE=t，OE=8-t.

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為(8-t)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，

∴PQ= (8-t)-t=10-2t.

當(dāng)MN在AD上時(shí)，10-2t=t，∴t=.               

當(dāng)0<t≤時(shí)，S=t(10-2t)，即S=-2t²+10t.

當(dāng)≤t<5時(shí)，S=(10-2t)²，即S=4t²-40t+100.          

（3）當(dāng)0<t≤時(shí)，S=-2（t-）²+，∴t=時(shí)，S最大值=.

當(dāng)≤t<5時(shí)，S=4(t-5)²，∵t<5時(shí)，S隨t的增大而減小，

∴t=時(shí)，S最大值=.

∵>，∴S的最大值為.               

（4）4<t<或t>6.                                 

【解析】（1）由于點(diǎn)C是直線與直線的交點(diǎn)，把兩直線組成方程組即可

（2）需要分情況討論：①當(dāng)0<t≤時(shí)，正方形PQMN與△ACD重疊部分是矩形，用t的代數(shù)式表示出矩形的長和寬即可，②當(dāng)≤t<5時(shí)，正方形PQMN與△ACD重疊部分是正方形，用t的代數(shù)式表示出正方形的邊長即可

（3）由（2）中的s與t的關(guān)系式中，根據(jù)二次函數(shù)的最值易解決

（4）考慮邊界即可