Question

（2012•潮陽區模擬）如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC邊上的高．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，且DE=BC，且連接AE、BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數量關系，請直接寫出你得到的結論；
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于0°，或小于90°），DG、DE分別交AB、AC于點M和N（如圖②），則（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
（3）在（2）的情況下，當AE∥BC時，求AM的值．

Answer 1

分析：（1）猜想BG=AE，在Rt△BDG與Rt△EDA；根據邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）（1）中的結論仍然成立．連接AD，根據直角三角形與正方形的性質可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進而可得BG=AE；
（3））因為△ABC是等腰直角三角形，AD是BC邊上的高，利用“三線合一”可證明BD=CD，進而證明△BDM≌△ADN，所以BM=AN，利用勾股定理求出AE，再通過證明△ADM∽△AEN，
利用相似三角形的性質得到關于AM的比例式，把已知數據代入求出AM的值即可．

解答：（1）猜想BG=AE，
證明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
在正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA，
在Rt△BDG和Rt△ADE中，

BD=DA ∠GDB=∠EDA GD=DE

∴Rt△BDG≌Rt△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（2）（1）中的結論仍然成立，理由如下：
∵Rt△BAC中，D為斜邊BC的中點，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△AED中，

BD=AD ∠BDG=∠ADE GD=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（3）∵△ABC是等腰直角三角形，AD是BC邊上的高，
∴∠5=∠6=∠7=45°，
∵BD=AD，∠3=∠2，
∴△BDM≌△ADN，
∴BM=AN，
∵AB=BC•cos∠7=2cos45°=

2

，
∴AN=BM=AB-AM=

2

-AM，
∵AE∥BC，
∴∠EAD=180°-∠ADC=90°，
∵AD=

1

2

BC=

1

2

×1=1，DE=BC=2，
∴AE=

DE2-AD2

=

3

，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠4，
∵∠8=90°-∠6=45°，
∴∠5=∠8，
∴△ADM∽△AEN，
∴

AD

AE

=

AM

AN

，
∴

1

3

=

AM

2 -AM

，
∴AM=

6 - 2

2

．

點評：本題考查正方形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，題目的綜合性很強，解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．