Question

【題目】如果兩個三角形的兩條邊對應相等，夾角互補，那么這兩個三角形叫做互補三角形，如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF，則圖中的兩個三角形就是互補三角形．

（1）用尺規將圖1中的△ABC分割成兩個互補三角形；

（2）證明圖2中的△ABC分割成兩個互補三角形；

（3）如圖3，在圖2的基礎上再以BC為邊向外作正方形BCHI．

①已知三個正方形面積分別是17、13、10，在如圖4的網格中（網格中每個小正方形的邊長為1）畫出邊長為、、的三角形，并計算圖3中六邊形DEFGHI的面積．

②若△ABC的面積為2，求以EF、DI、HG的長為邊的三角形面積．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）①62；②6

【解析】

試題分析：（1）作BC邊上的中線AD即可．

（2）根據互補三角形的定義證明即可．

（3）①畫出圖形后，利用割補法求面積即可．

②平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，只要證明S△EFM=3S△ABC即可．

試題解析：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD，△ABD和△ADC是互補三角形．

（2）如圖2中，延長FA到點H，使得AH=AF，連接EH．

∵四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形，

∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠EAF+∠BAC=180°，

∴△AEF和△ABC是兩個互補三角形．

∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，

∴∠EAH=∠BAC，

∵AF=AC，

∴AH=AB，

在△AEH和△ABC中，

∴△AEH≌△ABC，

∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．

（3）①邊長為、、的三角形如圖4所示．

∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，

∴S六邊形=17+13+10+4×5.5=62．

②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設∠ABC=x，

∵AM∥CH，CH⊥BC，

∴AM⊥BC，

∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，

∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，

∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，

∴△AEM≌△DBI，

∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，

∴△DBI和△ABC是互補三角形，

∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，

∴S△EFM=3S△ABC=6．