Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，現有兩動點P、Q分別從A、B同時出發，點P在線段AB上沿AB方向作勻速運動，點Q在線段BC上沿BC方向作勻速運動，已知點P的運動速度為1cm/s．
（1）設點Q的運動速度為

1

2

cm/s，運動時間為t s，△DPQ的面積為S，請你求出S與t的函數關系式；
（2）在（1）的條件下，當△DPQ的面積最小時，求BQ的長；
（3）在（1）的條件下，當△DAP和△PBQ相似時，求BQ的長．

Answer 1

分析：（1）根據路程=速度×時間，用時間t的代數式分別表示出AP、BQ、BP、BQ的長，再根據S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ即可得出關于S與t的函數關系式；
（2）由（1）可知，S是t的二次函數，運用配方法即可求解；
（3）由于∠PAD=∠PBQ=90°，所以當△DAP和△PBQ相似時，A與B是對應點，可分兩種情況進行討論：
①當∠ADP=∠BPQ時，△ADP∽△BPQ，根據相似三角形對應邊的比相等列出比例關系式，求出此時t的值．進而求出BQ的長；
②當∠APD=∠BPQ時，△APD∽△BPQ，按照①的方法求t的值即可．

解答：解：（1）連接DQ．
S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ
=10×6-

1

2

×6t-

1

2

×（10-t）•

1

2

t-

1

2

×10•（6-

1

2

t）
=60-3t-

5

2

t+

1

4

t²-30+

5

2

t
=

1

4

t²-3t+30；

（2）∵S_△DPQ=

1

4

t²-3t+30=

1

4

（t-6）2+21，
∴當t=6時，S_△DPQ最小，此時BQ=3cm；

（3）分兩種情況：
①當∠ADP=∠BPQ時，△ADP∽△BPQ，
則

AD

BP

=

AP

BQ

，即

6

10-t

=

t

1 2 t

，
解得：t=7，
當t=7時，BQ=3.5cm；
②當∠APD=∠BPQ時，△APD∽△BPQ，

AP

BP

=

AD

BQ

，

t

10-t

=

6

1 2 t

，
t²+12t-120=0，
解得：t₁=-6+2

39

，t₂=-6-2

39

（不合題意，舍去）
當t=-6+2

39

時，BQ=

39

-3；
綜上可知，當△DAP和△PBQ相似時，BQ的長為3.5cm或（

39

-3）cm．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，二次函數以及矩形的性質等知識點，要注意最后一問中，要分對應角的不同來得出不同的對應線段成比例，從而得出運動時間的值．不要忽略掉任何一種情況．