Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，點P在邊AB上．

（1）判斷四邊形ABCD的形狀并加以證明；

（2）若AB=AD，以過點P的直線為軸，將四邊形ABCD折疊，使點B、C分別落在點B′、C′上，且B′C′經過點D，折痕與四邊形的另一交點為Q．

①在圖2中作出四邊形PB′C′Q（保留作圖痕跡，不必說明作法和理由）；

②如果∠C=60°，那么為何值時，B′P⊥AB．

Answer 1

【答案】(1) 四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；（2）①圖見解析；②=．

【解析】

試題分析：（1）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進行判斷；（2）①根據軸對稱的性質進行作圖即可；②先根據折疊得出一些對應邊相等，對應角相等，并推導出B′D=B′E，再設AP=a，BP=b，利用解直角三角形將DQ和CQ長用含a的代數式表示出來，最后根據CD=DQ+CQ列出關于a、b的關系式，求得a、b的比值即可．

試題解析：（1）四邊形ABCD是平行四邊形

證明：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠B=180°，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）①作圖如下：

②當AB=AD時，平行四邊形ABCD是菱形，

由折疊可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，

當B′P⊥AB時，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，

∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，

∴B′D=B′E，

設AP=a，BP=b，則直角三角形APE中，PE=a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，

∴B′E=b﹣a=B′D，

∴C′D=a+b﹣（b﹣a）=a+a，

∴直角三角形C′QD中，C′Q=a=CQ，DQ=C′Q=a，

∵CD=DQ+CQ=a+b，

∴a+a=a+b，

整理得（+1）a=b，

∴==，即=．